如何快速手算二元一次方程组
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2023-03-31 21:41:43
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个人记录
引入
众所周知二元一次方程组是非常实用且常见的东西（尤其是在物理中）。但如果方程组系数十分奇怪的话，就会给我们解方程带来许多困难。那么，有没有什么能让我们快速且方便解方程组的通式呢？
分析
一般关于x和y的二元一次方程组都可以写成下面这种形式：
\begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\ \ (1)\\
a_2x+b_2y=c_2\ \ (2)
\end{cases}
当然，如果方程组不是这种形式的话，可以通过简单的移项转换成这种形式。还有值得一提的是，这个方程组有解的充要条件是向量(a_1,b_1)和(a_2,b_2)不共线。
我们尝试解这个方程组，对于(1)式而言，将b_1y移项可得：
a_1x=c_1-b_1y\\
\\
x=\frac{c_1-b_1y}{a_1}\ \ (3)
将(3)式代入(2)可得：
\frac{a_2c_1}{a_1}-\frac{a_2b_1}{a_1}y+b_2y=c_2\\
\\
y=\frac{c_2-\frac{a_2c_1}{a_1}}{b_2-\frac{a_2b_1}{a_1}}\\
\\
y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}
所以我们发现对于开头的方程组，总有 \large y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}。并且容易发现，将x和y在方程组中的位置互换可得\large x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_1a_2-b_2a_1}
小结
\large
\text{对于关于x和y的方程组}\begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases}\ \ \text{而言}\\
\large
\text{它的解为}\begin{cases}
x=\Large \frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_1a_2-b_2a_1}\\
y=\Large \frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}
\end{cases}
这个时候可能就有人问了，这么长的一个式子你怎么记呢？其实这公式可以这样记：
\large
分式上方大交叉\begin{cases}
{\color{red}a_1}x+b_1y={\color{green}c_1}\\
{\color{green}a_2}x+b_2y={\color{red}c_2}
\end{cases}\implies{\color{red}a_1c_2}-{\color{green}a_2c_1}\\
\large
分式下方小交叉\begin{cases}
{\color{red}a_1}x+{\color{green}b_1}y=c_1\\
{\color{green}a_2}x+{\color{red}b_2}y=c_2
\end{cases}\implies{\color{red}a_1b_2}-{\color{green}a_2b_1}\\
\large
故得y=\frac{{\color{red}a_1c_2}-{\color{green}a_2c_1}}{{\color{red}a_1b_2}-{\color{green}a_2b_1}}\ 对x而言同理
后记
为什么我突然想到要写这样一个东西呢？答案是物理考试的阴间方程组快把我逼疯了，为了提高计算的准确度，我特意整出了这个公式。
祝大家考试时都能算对物理大题~